88889.ru

Отделка плиткой и ремонт
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла

Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на отрезке функции, осью и прямыми и равен

Обчислення площ і обємів за допомогою визначеного інтеграла

Пример.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Изображая эти линии, получаем криволинейную трапецию

Обчислення площ і обємів за допомогою визначеного інтеграла

Площадь фигуры ограниченной графиками двух функций и прямыми и

Если на заданном отрезке непрерывные функции и имеют то свойство, что для всех то

Обчислення площ і обємів за допомогою визначеного інтеграла

Пример.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Изобразим заданные линии и абсциссы их точек пересечения.

Абсциссы точек пересечения:

Тогда по формуле

Обчислення площ і обємів за допомогою визначеного інтеграла

Объемы тел

В общем случае

Если тело заключено между двумя перпендикулярными к оси плоскостями, проходящими через точки и то

где — площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку и перпендикулярна к оси

Обчислення площ і обємів за допомогою визначеного інтеграла

Для тела вращения

Если тело получено в результате вращения вокруг оси криволинейной трапеции, которая ограничена графиком непрерывной и невідємної функции на отрезке и прямыми и то

Как найти объём тела вращения с помощью интеграла

Объём тела вращения: исходные данные и формулы

С помощью определённого интеграла можно вычислять не только площади плоских фигур, но и объёмы тел, образованных вращением этих фигур вокруг осей координат.

Примеры таких тел — на рисунке ниже.

В задачах у нас есть криволинейные трапеции, которые вращаются вокруг оси Ox или вокруг оси Oy . Для вычисления объёма тела, образованного вращением криволинейной трапеции, нам понадобятся:

  • число «пи» (3,14. );
  • если кривая вращается вокруг оси Ox — непосредственно данная в задаче функция («игрек»), задающая вращающуюся кривую, и определённый интеграл от квадрата «игрека»;
  • если кривая вращается вокруг оси Oy ) — «икс», выраженный из «игрека» — данной в задаче функции — и определённый интеграл от квадрата «икса»;
  • пределы интегрированияa и b. Если кривая вращается вокруг оси Ox , то это значения на оси «иксов» крайних точек фигуры. Если же кривая вращается вокруг оси Oy , то это значения крайних точек фигуры на оси «игреков». Если фигура ограничена данными в задаче прямыми — то пределы найти совсем просто: например, x 1 =1 и x 2 =4 означает, что нижний и верхний пределы интегрирования равны соответственно 1 и 4. В более сложных случаях для нахождения пределов интегрирования нужно найти точки пересечения линий, между которыми заключена вращающаяся кривая.
Читайте так же:
Кирпич керамический пустотелый красны

Итак, тело, которое образуется вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x) , имеет объём

Аналогично объём v тела, полученного вращением вокруг оси ординат ( Oy ) криволинейной трапеции выражается формулой

При вычислении площади плоской фигуры мы узнали, что площади некоторых фигур могут быть найдены как разность двух интегралов, в которых подынтегральные функции — те функции, которые ограничивают фигуру сверху и снизу. Похоже обстоит дело и с некоторыми телами вращения, объёмы которых вычисляются как разность объёмов двух тел, такие случаи разобраны в примерах 3, 4 и 5.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс ( Ox ) фигуры, ограниченной гиперболой , осью абсцисс и прямыми , .

Решение. Объём тела вращения найдём по формуле (1), в которой , а пределы интегрирования a = 1 , b = 4 :

Пример 2. Найти объём шара радиуса R.

Решение. Рассмотрим шар как тело, получащееся при вращении вокруг оси абсцисс полукруга радиуса R с центром в начале координат. Тогда в формуле (1) подынтегральная функция запишется в виде , а пределами интегрирования служат —R и R. Следовательно,

Пример 3. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс ( Ox ) фигуры, заключённой между параболами и .

Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси абсцисс криволинейных трапеций ABCDE и ABFDE . Объёмы этих тел найдём по формуле (1), в которой пределы интегрирования равны и — абсциссам точек B и D пересечения парабол. Теперь можем найти объём тела:

Пример 4. Вычислить объём тора (тором называется тело, получающееся при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на расстоянии b от центра круга (). Форму тора имеет, например, баранка).

Решение. Пусть круг вращается вокруг оси Ox (рис. 20). Объём тора можно представить как разности объёмов тел, полученных от вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси Ox.

Уравнение окружности LBCD имеет вид

причём уравнение кривой BCD

а уравнение кривой BLD

Используя разность объёмов тел, получаем для объёма тора v выражение

Пример 5. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ординат ( Oy ) фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Представим искомый объём как разность объёмов тел, полученных вращением вокруг оси ординат треугольника OBA и криволинейной трапеции OnBA . Объёмы этих тел найдём по формуле (2). Пределами интегрирования служат и — ординаты точек O и B пересечения параболы и прямой. Таким образом, получаем объём тела:

Читайте так же:
Клей для склеивания кирпича с металлом

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Часть плоскости, ограниченной линиями , и , вращается 1) вокруг оси абсцисс ( Ox ); 2) вокруг оси ординат ( Oy ). Вычислить объём полученного тела вращения.

Пример 7. Найти объём эллипсоида, полученного вращением эллипса вокруг оси абсцисс ( Ox ).

Алгоритмы обучения измерению линейных протяженностей, объемов жидких и сыпучих тел с помощью условной мерки.

Татьяна Тихончик
Алгоритмы обучения измерению линейных протяженностей, объемов жидких и сыпучих тел с помощью условной мерки.

Алгоритмы обучения измерению линейных протяженностей, объемов жидких и сыпучих тел с помощью условной мерки.

Детей старшего дошкольного возраста знакомят с деятельностью измерения.

Дети учатся измерять линейные величин, объем жидких и сыпучих тел с помощью условной мерки:

Знакомиться с правилами измерения условной мерки;

Формировать умение действовать с измеряемой величиной;

Развивать умение давать словестные отчёты о выполнении задания, на этой основе углублять представления о связях и отношениях между числами;

Использовать навыки измерения целого на части, для развития глазомера.

Алгоритм измерения линейных величин

o Начинаем измерять протяженность с самого ее начала, правильно установив точку отсчета.

o У конца мерки сделать отметку (мелом, карандашом) в том месте, на которое пришёлся конец мерки.

o Отложить фишку.

o Прикладывать метку к точно к отметке, обозначающую последнюю отмеренную часть; (измерять длину слева направо, высоту, снизу вверх, измерение вести по прямой, не сдвигать мерку)

o Перемещая мерки надо не забывать их считать

Окончив измерение

oПересчитать фишки и сказать о результатах: что измерено и каков результат.

(Длина стола равна 3 метра. Наша мерка уложена 3 раза).

Алгоритм измерения объемных величин

Наполняем мерку до краёв (когда вещество тогда ровняем его картонкой или пластинкой с краями мерки).

Пересыпаем (переливаем) вещество в другую емкость.

Ставим рядом результата снова пересчитываем фишки, говорим что изрено и каков результат. (Объем банки равен 3 условных мерки. Наша мерка вместилась 3 раза).

«Условные мерки длины или 38 попугаев». Программа познавательно-исследовательской деятельности старших дошкольников Программа организации познавательно –исследовательской деятельности детей старшего дошкольного возрастаТема: «Условные мерки длины…или 38.

Алгоритмы использования Лего в развитии монологической речи детей дошкольного возраста Алгоритм использования в образовательной деятельности конструктора ЛЕГО, как одного из современных средств развития СВЯЗНОЙ МОНОЛОГИЧЕСКОЙ.

Читайте так же:
Мотивация по продажам кирпича

Алгоритмы проектирования образовательных мероприятий по игровой, проблемной и проектной технологиям в соответствии ФГОС до ФГОС ДО предусматривает реализацию содержания программ дошкольного образования через организацию педагогами разных видов детской деятельности.

Измерение с помощью условной мерки Задачи: Учить определять объем сыпучих тел с помощью условной мерки. Измерять длину с помощью условной мерки. Материал: миска с рисом (не.

Измерение жидких и сыпучих тел условной меркой Цель: Формирование умения определять объем жидких и сыпучих тел с помощью заданной мерки. Задачи: Образовательные: Дать понятие «условная.

Конспект НОД по математике в подготовительной группе на тему: «Приемы измерения жидких тел» Программное содержание: Познакомить детей с приемами измерения жидких тел, подвести детей к пониманию зависимости результата измерения от.

Мастер-класс «Наглядное пособие «Гусеница геометрических тел» своими руками»Мастер-класс «Наглядное пособие «Гусеница геометрических тел» своими руками» Все занятия по ФЭМП строятся на наглядности. Наглядность способствует лучшему усвоению знаний и установлению связи их с жизнью, с практикой.

«Условные мерки длины… или 38 попугаев». Программа познавательно–исследовательской деятельности старших дошкольников Программа организации познавательно –исследовательской деятельности детей старшего дошкольного возраста. Авторский коллектив: Федина Надежда.

Совместная познавательно-исследовательская деятельность в старшей группе «Плавание тел. Изготовление кораблика»Совместная познавательно-исследовательская деятельность в старшей группе «Плавание тел. Изготовление кораблика» Совместная деятельность. Познавательно-исследовательская деятельность в старшей группе. Воспитатель: Гадаборшева Елена Сергеевна. Д/сад.

Конспект занятия «Замерзание жидких веществ»Конспект занятия «Замерзание жидких веществ» Цель исследования: 1. Определить различия в замерзании различных жидких веществ. 2. Способствовать накоплению у детей конкретных представлений.

Вопрос: Как найти объем с помощью воды?

Объем вытесненной воды найдите посредством перемножения длины и ширины емкости, а также расстояния между двумя метками (то есть вы вычисляете объем небольшого прямоугольного параллелепипеда). Вы получите объем тела. Не измеряйте высоту емкости с водой. Измерьте только расстояние между двумя метками.

Как понять объем тела?

Отсюда видно, что для определения объема тела надо массу этого тела разделить на его плотность. Чтобы определить массу тела, надо плотность тела умножить на его объем.

Как найти объем произвольной фигуры?

ФигураФормула
Параллелепипед. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.V= SH= abh
Цилиндр. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Объем цилиндра равен произведению числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.V = Sh, V = πr2h
Читайте так же:
Кирпич новокубанский полуторный размер

Как определить объем тела опущенного в мензурку?

4. Объем опущенного тела в мензурку можно вычислить по формуле Vт1 = V2 – V1. Используя эту формулу, определите объем 1 тела.

Как измерить объем твердого тела правильной формы?

Например, объем тела, которое имеет форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 2), вычисляется по формуле: V = Idh, где I — длина тела; d — ширина тела; h — высота тела.

Как и каким прибором измеряют объем тел неправильной формы?

КСИЛОМЕТР (от ксило… и… метр) прибор (сосуд с сообщающейся с ним градуированной трубкой) для определения объема тел неправильной формы (первоначально главным образом из дерева) путем измерения объема жидкости, вытесненной погруженным в сосуд телом.

Как найти объем тела с помощью мензурки?

Для этого необходимо налить в мензурку определенный объем V1 воды (или любой другой жидкости) и полностью погрузить цилиндр в жидкость, находящуюся в мензурке. При этом уровень жидкости в мензурке поднимается до уровня V2. Объем цилиндра будет равен V = V2 — V1.

Как определить объем погруженного в жидкость тела?

Согласно закону Архимеда, объем тела, погруженного в воду равен объему вытесненной им воды. Чтобы определить таким образом объем цилиндра, нужно взять мерный стакан с водой со шкалой объема. Определить по шкале первоначальный объем воды — V1. Затем погружаем цилиндр в воду и отмечаем объем воды после погружения — V2.

Как найти объем мерного цилиндра?

V=S·L — расчет объема цилиндра, где S — площадь поперечного сечения цилиндра, L — длина цилиндрической части. Площадь поперечного сечения емкости в форме цилиндра рассчитывается по формуле: S=3,14·d 2 /4 — площадь круга с диаметром d.

Что такое объем тела в физике?

Объём тела — это физическая величина, которая показывает, сколько места занимает это тело в пространстве. Представление об объёме проще всего получить, переливая воду из одного сосуда в другой.

Как посчитать объем нестандартной фигуры?

V = πr 2 h, где π ≈ 3,14; r – радиус цилиндра; h – расстояние между двумя метками. Посредством этой формулы вы вычислите объем вытесненной воды, а значит и объем тела.

Как найти объемы фигур?

Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Определение объёма тела погружённого в жидкость (урок 2)

Уже при жизни Архимеда вокруг его имени создавались легенды, поводом для которых служили его поразительные изобретения, производившие ошеломляющее действие на современников. Известен рассказ о том как Архимед всё время размышлял над задачей определения объема тела неправильной формы. Как-то он принимал ванну, и тут ему пришла в голову блестящая идея: погружая корону в воду, можно определить её объём, измерив объём вытесненной ею воды. Согласно легенде, Архимед выскочил голый на улицу с криком «Эврика!», т. е, «Нашёл!». Так был открыт основной закон гидростатики.

Читайте так же:
Габаритные размеры кирпича шамотного кирпича

Больше уроков на сайте https://mriya-urok.com/

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами. С понятием объёма тесно связано понятие вместимость, то есть объём внутреннего пространства сосуда, упаковочного ящика и т. п. Синонимом вместимости частично является ёмкость, но словом ёмкость обозначают также сосуды.

  1. Как определить V тела неправильной формы?

Способ измерения объема тела с помощью мензурки основан на том, что при погружении тела в жидкость объем жидкости с погруженным в нее телом увеличивается на величину объема тела. Этот способ хорош тем, что им можно измерять объем тел неправильной формы , которые нельзя найти, измеряя линейные размеры этих тел.

Порядок измерения следующий:

  • а) в мензурку наливается вода в количестве достаточном для того, чтобы полностью погрузить в нее измеряемое тело. Объем записывается;
  • б) полностью погрузить тело в воду;
  • в) определить объем воды с погруженным в нее телом. Разница объемов воды до и после погружения в нее измеряемого тела и будет объемом тела.
  • V = V2 – V1
  1. Как определить V тела неправильной формы, если оно не помещается в мензурку?

Такой способ измерение объема тела был предложен древнегреческим ученым Архимедом (287 – 212гг. до н.э.).

. И действительно в этот момент был открыт основной закон гидростатики.

Объем вытесненной телом жидкости равен объему тела

Если тело неправильной формы не входит в мензурку, то его объем можно определить с помощью отливного сосуда. Перед измерением сосуд наполняют водой до отверстия отливной трубки. При погружении в него тела часть воды, равная объему тела, выливается. Измерив мензуркой ее объем, определим объем погруженного в жидкость тела.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector